Números complexos - parte 1

Exercícios

Agora é a sua vez: Teste seus conhecimentos!!!

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i

b) 1 + 31i

c) 29 + 11i

d) 29 - 11i

e) 29 + 31i

RESPOSTA: C

02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i

b) -i + 1

c) i - 1

d) i + 1

e) -i

RESPOSTA: C

03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) infinitos

RESPOSTA: C

04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:

a) zero

b) i

c) -i

d) 1

e) -1

RESPOSTA: A

05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:

a) 1

b) -i

c) 2i

d) -i/2

e) i/2

RESPOSTA: E

06. A potência (1 - i )16 equivale a:

a) 8

b) 16 - 4i

c) 16 - 16i

d) 256 - 16i

e) 256

RESPOSTA: E

07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

RESPOSTA: E

08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1

b) -i

c) i

d) i4

e) i5

RESPOSTA: D

09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.

RESOLUÇÃO: 3 - 2i; -3 + 2i

10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0.

RESOLUÇÃO: V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}

Argumento

Argumento de um número complexo

 

    Os números complexos são uma extensão do conjunto dos números reais. Na verdade, número complexo é um par ordenado de números reais (a, b). Escrito na forma normal, o par ordenado (a, b) fica z = a + bi. Representando esse número complexo no plano de Argand-Gauss, teremos:

 

     O segmento de reta OP é chamado de módulo do número complexo. O arco  formado entre o eixo horizontal positivo e o segmento OP, no sentido anti-horário, é chamado de argumento de z. Observe a figura abaixo para determinarmos as características do argumento de z.

  

       No triângulo retângulo formado, podemos afirmar que:

  

      Podemos constatar, também, que: 

 

      Ou 

 

      Exemplo 1. Dado o número complexo z = 2 + 2i, determine o módulo e o argumento de z.

      Solução: Pelo número complexo z = 2 + 2i, sabemos que a = 2 e b = 2. Segue que: 

 

 

     Exemplo 2. Determine o argumento do número complexo z = – 3 – 4i.
Solução: Para determinar o argumento de z, precisamos conhecer o valor de |z|. Assim, como a = – 3 e b = – 4, teremos:   

 

      Nos casos em que o argumento não for um ângulo notável, é preciso determinar o valor de sua tangente, como feito no exemplo anterior, para só depois podermos afirmar quem é o argumento. Exemplo 3. Dado o número complexo z = – 6i, determine o argumento de z.
Solução: Vamos calcular o valor do módulo de z. 

 

Potência de i

Potência i

     Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.

i ⁰ = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um.
i ¹ = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo.
i ² = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja:
i ³ = i² . i = -1 . i = - i
i ⁴ = i² . i² = -1 . (-1) = 1
i ⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i
i ⁶ = i⁴ . i² = 1 . (-1) = -1.
i ⁷ = i⁴ . i³ = 1 . (-i) = - i.

     E assim por diante.

    Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i ²⁴³, basta observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i²⁴³ será o mesmo que i³, portanto i²⁴³ = - i.

     Podemos concluir que i ⁿ = i^r, onde r é o resto da divisão.

Módulo

Plano de Argand-Gauss

     A cada número complexo z = a + bi, podemos associar um ponto P no plano cartesiano. No complexo podemos representar a parte real por um ponto no eixo real, e a parte imaginária por um ponto no eixo vertical, denominado eixo imaginário.
     A este ponto P, correspondente ao complexo z = a +bi, chamamos de imagem ou afixo de z. Observe a representação da interpretação geométrica dos números complexos: 

 

     Atualmente, o plano dos números complexos é conhecido como plano de Argand-Gauss.

   Com base no plano representado vamos calcular a distância p (letra grega: rô), entre os pontos O e P. Observe que basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, dessa forma temos:

 

     O módulo de z é representado pela grandeza p, mas também pode ser representado por |z|.

     O ângulo Ө (0 ≤ Ө < 2π), formado pelo eixo real e a reta do segmento OP, é chamado de argumento de z (z ≠ 0) e é indicado por Arg(z). Baseado nessas definições podemos estabelecer as seguintes relações na interpretação geométrica dos complexos:

 

     Exemplo
     Calcule o módulo e o argumento do número complexo z = 1 + 2i.

     Módulo
a = 1 e b = 2 

 

 

 

Argumento
Ө = Arg(z)

 

   Portanto, o argumento de z é o arco cuja tangente é 2.           

   Veja como ficaria o gráfico representativo do número complexo z = 1 + 2i. 

Divisão de números complexos

    Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como:

     Dado dois números complexos z ₁ e z₂, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra: 

z₁ : z₂ = z₁  .  
               z₂       

   De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por:

      Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será:

Oposto, conjugado e igualdade de números complexos

 

     Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo precisamos conhecer alguns fundamentos.

                                                                      Oposto

     O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.

     Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:
- z = - 8 + 6i.

                                                                     Conjugado

    Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será:
 


     Exemplo:
z = 5 – 9i, o seu conjugado será:

z = – 2 – 7i, o seu conjugado será

                                                                     Igualdade

     Dois números complexos serão iguais se, e somente se, respeitarem a seguinte condição:
     Partes imaginárias iguais
     Partes reais iguais

     Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi = ei.


Observações:

     A soma de números complexos opostos será sempre igual a zero.
z + (-z) = 0.

     O conjugado do conjugado de um número complexo será o próprio número complexo.


    Não existe relação de ordem no conjunto dos números complexos, então não podemos estabelecer quem é maior ou menor.

Exemplo 1

     Dado o número complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado.
     Oposto
- z = 2 - 6i

     Conjugado


     Oposto do conjugado



     Exemplo 2

     Determine a e b de modo que .

 

-2 + 9i = a - bi

      Precisamos estabelecer a propriedade da relação de igualdade entre eles. Então:

a = - 2
b = - 9