Algumas questões de números complexos

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   1. (UFU-MG) Sejam os complexos z = 2x – 3i  e  t = 2 + yi, onde x  e  y são números reais. Se z = t, então o produto x.y é

     A) 6       B) 4       C) 3       D) –3       E) –6 

   2. (PUC-MG) Qualo é o quociente de (8 + i)/(2 - i) é igual a

     A) 1 + 2i       B) 2 + i       C) 2 + 2i       D) 2 + 3i       E) 3 + 2i 

   3. (UFV-MG) Dadas as alternativas abaixo

I.  i² = 1        II. (i + 1)² = 2i         III. ½4 + 3i½ = 5       IV. (1 + 2i).(1 – 2i) = 5 pode-se dizer que

A) todas as alternativas acima estão corretas

B) todas as alternativas acima estão erradas

C) as alternativas I e III estão erradas

D) as alternativas II, III e IV estão corretas

E) as alternativas I e III estão corretas 

   4. (MACK-SP) Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, então, o número de soluções da equação Ī = I² é:

A) 0       B) 1       C) 2       D) 3       E) 4 

  5. (ITA-SP) Os complexos u e I, de módulo igual a 1, são representados no plano de Argand-Gauss por dois pontos simétricos em relação ao eixo real. Vale então a relação

A) u. Ī = 1         B) u. I = 1       C) u + Ī = 0       D) u. I = 0       E) n.r.a 

   6. (CESGRANRIO-RJ) O módulo do complexo z, tal que z² = i, é

A) 0       B) (Ö2)/2       C) 1       D) Ö2       E) 2 

   7. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?

A) 5       B) 6       C) 7       D) 8       E) 10 

   8. (MACK-SP) O conjugado de (2 - i)/i vale

A) 1 – 2i       B) 1 + 2i       C) 1 + 3i       D) –1 + 2i       E) 2 - i 

    9. Se n é um inteiro, então o conjunto solução em Z, da equação iⁿ + i^-n = 0, onde i = Ö-1, é:

A)	{n Є Z/ n é ímpar}
B)	{n Є Z/ n é par}
C)	{n Є Z/ n > 0}
D)	{n Є Z/ n < 0}
E)	Z

   10. (UFPA-PA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi).(3 + i) seja um imaginário puro?

A)  5       B)  6       C) 7       D) 8      E) 10

   11. Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

 

   12. Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , calcule Im(z).w + Im(w).z . 

   13. (UCMG) O número complexo 2z, tal que 5I + Ī = 12 + 6i é:  

   14. (UCSal) Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real, a deve ser: 

   15. (UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i  e  c = 4 - 3i , o valor de ac + b é:

   16. (Mackenzie-SP) O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é: 

   17. Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.

   18. Calcule [(1 + i)⁸⁰ + (1 + i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰

   19. Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi, sabendo-se que z + w é um número real e  z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a.

   20. Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0, então calcule o valor de a.

   21- Determine o número complexo I tal que iI  + 2.Ī + 1 - i = 0. 

  22. (UFMG) Se z = (cos q + i senq)  é um número complexo na forma trigonométrica, mostra-se que zⁿ = rⁿ(cos q + i sen nq) para todo n Î IN. Essa fórmula é conhecida como fórmula de De Moivre. 

A) Demonstre a fórmula de De Moivre para n = 2, ou seja, demonstre que z² = r²(cos 2q + i sen 2q).

B) Determine todos os valores de n, n Є IN, para os quais  (Ö3 + i)ⁿ  seja imaginário puro. 

   23. (UFMG) 

A) Dado o número complexo na forma trigonométrica I = 2[cos (3p/8) + i sen(3p/8)], escreva os números complexos Ī, I² e na forma trigonométrica.

B) No plano complexo da figura abaixo, marque e identifique os números I, Ī, I² e no item acima.

 

Nessa figura, os ângulos formados por dois raios consecutivos quaisquer têm a mesma medida.

   24. (UFMG) Por três pontos não-colineares do plano complexo, z₁, z₂ e z₃, passa uma única circunferência.

Sabe-se que um ponto z está sobre essa circunferência se, e somente se, for um número real.

Seja C a única circunferência que passa pelos pontos z₁ = 1, z₂ = -3i e z₃ = -7 + 4i  do plano complexo.

Assim sendo, determine todos os pontos do plano complexo cuja parte real é igual  a –1  e que estão sobre a circunferência C. 

   25. (UFMG) 2002 - Observe esta figura: 

 

Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4.

Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados geometricamente pelos pontos  P e Q.  

Considerando esses dados, escreva o número complexo z¹¹ / i.w⁵ na forma a + bi, em que a e b são números reais.

   26. (UEFS) O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i, é:

a) -3i      b) 1 – i      c) 5/2 + (5/2)i      d) 5/2 - (3/2)i       e) ½ - (3/2)i

   27. (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:

a) -1 + 2i      b) 1 + 2i      c) 1 - 2i      d) 3 - 4i      e) 3 + 4i

   28. (UEFS) Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:

a) 1 e 10      b) 5 e 10       c) 7 e 9      d) 5 e 9      e) 0 e -9

   29. (UEFS) A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:

a) Ö13      b) Ö7       c) 13      d) 7      e) 5 

   30. (FESP/UPE) Seja  z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:

a) 16      b) 161      c) 32      d) 32i      e) 32 + 16i 

    31. (UCSal) Sabendo que (1 + i)² = 2i, então o valor da expressão y = (1 + i)⁴⁸ - (1 + i)⁴⁹ é:

a) 1 + i       b) -1 + i       c) 2²⁴ . i       d) 2⁴⁸ . i       e) -2²⁴ . i 

Resposta:

1)D  2)E 3)D  4)E 5)B  6)C 7)B  8)D  9) A  10) B
11) -3 - i  12) -3 + 18i  13) 4 + 3i  14) 3/2  15) -2 + 18i  16) i  17) 3  18) 1 + 2i
19) 50   20) 32i  21) -1 - i   24) –1 + 4i e -1 – 4i  26) B  27) D  28) A
29) A   30) A   31) E