Números Complexos
A construção dos números complexos passou por diversos
obstáculos, que levaram em média 300 anos para serem vencidos, desenvolvendo,
assim, teorias referentes a esse conjunto numérico.
Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à
grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático
mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível
obter uma solução para a equação do segundo grau: x2 – 10x +40 = 0.
Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não
acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A
partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse
impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss
(1777-1855).
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior
cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois,
compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas,
algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação
geométrica dos números complexos.
Ao resolver uma equação do 2º grau podemos obter três resultados, dependendo
do valor do discriminante:
∆ > 0, duas raízes reais diferentes.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Resolvendo a equação do 2º grau dentro do universo dos números reais, os casos em que
∆ < 0 não podem ser resolvidos, pois não existe raiz de número negativo dentro do conjunto dos números reais.
O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.
Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 .
Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z.
Exemplos:
z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4
z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2
A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma:
x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)
x² = –81
x = ±√–81
Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81
x = ±9i
2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
a = 2, b = -16, c = 50
∆ = b² - 4ac
∆ = (-16)² - 4 * 2 * 50
∆ = 256 – 400
∆ = -144
Temos (±12i)² = 144i² = 144*(-1) = -144.
∆ > 0, duas raízes reais diferentes.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Resolvendo a equação do 2º grau dentro do universo dos números reais, os casos em que
∆ < 0 não podem ser resolvidos, pois não existe raiz de número negativo dentro do conjunto dos números reais.
O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.
Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 .
Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z.
Exemplos:
z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4
z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2
A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma:
x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)
x² = –81
x = ±√–81
Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81
x = ±9i
2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
a = 2, b = -16, c = 50
∆ = b² - 4ac
∆ = (-16)² - 4 * 2 * 50
∆ = 256 – 400
∆ = -144
Temos (±12i)² = 144i² = 144*(-1) = -144.
x = -b±√∆/2*a
x = 16±√-144/2*2
x = 16±12i/4
x’ = 4 + 3i e x’’ = 4 – 3i
x’ = 4 + 3i e x’’ = 4 – 3i
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